数学在物理中的运用

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数学是研究物理学的有力工具，不论是物理实验的测量和计算，物理概念和规律的表达，还是习题求解等，都离不开数学的应用．但是，数学只是工具．作为工具用的数学必须与物理现象的内容统一，而且还受到具体的物理条件的制约，所以运用数学解决物理问题的能力培养必须充分考虑到物理学科的特点。

众所周知，物理学的发展离不开数学，数学是物理学发展的根基，并且很多物理问题的解决是数学方法和物理思想巧妙结合的产物。打好数学基础要从高中做起 ，培养学生的数学思想，创新能力，更好的与大学课程接轨，更早的把高中生带到物理殿堂。

下面以一题为例说明一下数学思想在物理中的应用：

例一如图所示，一根一段封闭的玻璃管，长L=96厘米内有一段h1=20厘米的水银柱，当温度为27摄氏度，开口端竖直向上时，被封闭气柱h2=60厘米，温度至少多少度，水银才能从管中全部溢出？

解：首先使温度升高为T0以至水银柱上升16厘米，水银与管口平齐，此过程是线性变化。温度继续升高，水银溢出，此过程不再是线性关系。设温度为T时,剩余水银柱长h,对任意位置的平衡态列方程：

(76+ h1)×60/300=(76+h) ×(96-h)/ T 整理得：

T=(-h2+20h+7296)/19.2

h的变化范围0——20，可以看出温度T是h的二次函数，此问题转化为在定义域内求T的取值范围,若Tmin<T<Tmax，只有当温度T大于等于Tmax 才能使水银柱全部溢出，经计算所求值Tmax =385.2 。

只有通过二次函数极值法，才能从根上把本体解决。加强数学思想的渗透是新教材新的一个体现，比如：“探索弹簧振子周期与那些因素有关”，“探索弹簧弹力与伸长的关系”。在实际教学过程中应该引起高度重视并加以扩展。

大学物理课程与高中物理课程跨度较大，难点在于运用数学手段探索性研究物理问题的方法，另外微积分思想比较难以理解，为了与大学物理课程更好的接轨，在高中阶段对学生进行微积分思想的渗透也是非常必要的。因此在高中物理教学过程中应抓住有利时机渗透微元思想，为学好微积分奠定良好的基础。渗透的内容应该有两方面：一是变化率，二是无限小变化量，比如：

在讲速度时，平均速度v=△s/t,即时速度呢？△s/t就是变化率,当△s取无限小时，v就可以理解为某一时刻的速度——即使速度。加速度a= △v/t, △v/t是速度变化率，当△v取无限小时，加速度a就可以理解为某一时刻的加速度。象这样的例子还有w/t,I/t, △φ/t等等。总之高中物理教师应当根据学生的具体情况适当的渗透微积分的思想并加以配套练习，达到巩固理解的目的。下面讨论一个相关题目。

例二一竖直放的等截面U形管内装有总长为L的水银柱， 当它左右两部分液面做上下自由振动时，证明水银柱的振动时间谐振动。

解：设两液面相平时速度为V0,建立坐标如图。

当有液面上升x时，液体速度为v,则根据能量守恒的

mv02/2=△mgx1 +mv12/2 ⑴

△m=mgx1/L ⑵

⑵带入⑴得

mv02/2=mgx12/L +mv12/2 ⑶

当液面在上升△x时,x2=x1+△x 则

mv02/2=mgx22/L +mv22/2 ⑷

⑷减⑶ 得

0=(x22-x12)mg/L+m(v22-v12)/2化简得：

0=(x1+x2) mg△x/L+m(v12-v22)/2 ⑸

△x很小，则认为加速度a不变,根据运动学公式得：

v12-v22=2ax带入⑸得

0=2x△xmg/L+2ma△x/2 ⑹

即：F=-2mgx/L 2mg/L为常数K，证得水银柱的振动为简谐振动。

朴素的pid控制很简单，重在理解它的思想——控制的时间累积效应。

这是我刚接触pid算法时，写的一个模拟程序（Matlab代码），希望对你有所帮助：

kp?=?10;%?比例系数

kd?=?0;%?差分系数

ki?=?0.01;?%?积分系数

mass?=?10;?%?模拟?弹簧振子?运动

x?=?[];?%?位移

v?=?[];?%?速度

a?=?[];?%?加速度

F?=?[];?%?力

Ts?=?0.01;?%?simple?time.

simtime?=?20;?%?simulate?time.

x(1)?=?10;?%?初始位置

v(1)?=?0;?%?初始速度

tag?=?0;%?目标位置

lasterror?=?0;?%?上一周期?误差

ierror?=?0;%?误差的积分

derror?=?0;%?误差微分（对时间的导数）

for?i?=?[1:?simtime/Ts]

%?pid?相关

error?=?tag?-?x(i);?

ierror?=?ierror?+?(?error?+?lasterror?)?/?2?*?Ts;

derror?=?(?error?-?lasterror?)?/?Ts;

%?PID?Control.

F(i)?=?(?kp?*?error?+?kd?*?derror?+?ki?*?ierror?);

%?Running.?牛顿运动定律

a(i)?=?F(i)?/?mass;?

v(i+1)?=?v(i)?+?a(i)*Ts;

x(i+1)?=?x(i)?+?v(i)*Ts?+?0.5*a(i)*Ts*Ts;

lasterror?=?error;

end

plot([0:?Ts:?simtime],?x);

用Matlab只是为了画图方便。也可以用C/C++实现，把输出重定向到txt中，在用其他图表软件（Excel等）绘制图表。

你也可以通过这个模拟程序观察PID三项系数对控制效果的影响，只需修改开头的几个系数的值就行了

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